命题逻辑
一阶逻辑的语言
一阶逻辑的自然推理系统
命题逻辑的永真推理系统
由于在推理过程中出现的所有命题皆为永真，因此这种风格的系统为永真推理系统。我们先给出一个永真推理系统$H$，然后证明其与$G$是等价的。
公理：
- A01: $A \rightarrow A$
- A02:
- A03:
- A04:
- A05:
- A06:
- A07:
- A08:
- A09:
- A10:
- A11:
- A12:
以上十二条称为公理模式，呈现以上公理模式的命题被称为公理。
规则：
MP： $\frac{A \rightarrow B \qquad A}{B}$
一阶逻辑的永真推理系统
完全性定理
它表明了在一阶逻辑中，如果一个命题集合具有一个模型，那么这个命题集合就是可满足的。换句话说，对于任何在一阶逻辑中合理表达的命题，要么能够被证明成真，要么能够被证明成假。
设$\Gamma$为公式集。
- $\Gamma$矛盾指存在$\Gamma$的有穷集$Delta$，使$\Delta \vdash$在$\Gamma$中可证
